Парадокс коробок Бертрана (задача карточек Бертрана) — парадокс теории вероятности, впервые описанный Жозефом Бертраном в его работе «Вычисление вероятностей» в 1889 году.

Есть три коробки:

• первая содержит две золотых монеты.
• вторая содержит две серебряные монеты.
• третья содержит одну золотую и одну серебряную монету.

Парадокс заключается в следующем: после выбора случайной коробки и случайной монеты из нее, выбранная монета оказалась золотой. Какова вероятность того, что вторая монета в выбранной коробке также золотая?

Может показаться, что такая вероятность равна 1/2, но на самом деле ответ — 2/3. Дело в том, что если выбрана золотая монета, то вероятность того, что она в коробке номер 1 — 2/3, так как в ней 2 золотых монеты, а всего золотых — три.

Эту задачу используют в качестве примера для обучения теории вероятности. Также она иллюстрирует такие базовые принципы, как, например, аксиомы Колмогорова.

Статья скопирована с сомнительного источника в виде домашней странички. Ей требуется значительное уточнение в условии и детальное объяснение.

Ответ 1/3 является сомнительным, т.к. решение противоречит условию задачи. По условию требуется определить вероятность события на последнем шаге. Все предыдущие действия уже сделаны, причём не случайным образом, а искусственной выборкой, и, как правило, не должны относиться и приниматься во внимание к решению. По сути нам дают два заранее отобранных ящика, выигрышный из которых только один.

По классическому определению вероятность события равна отношению удовлетворяющих нас событий ко всем возможным событиям. В задаче у нас два возможных события и только одно является успешным. Следовательно вероятность выпадения золотой монетки на последнем шаге равна ½.

Полная аналогия с подбрасыванием монетки.

Например задача: Какова вероятность выпадения решки? "Правильный" ответ ¼.

Что естественно неверно, т.к. в процессе решения всплывёт аргумент «до этого уже выпадала решка, значит вероятность второй подряд решки уменьшена». Именно таким ухищрением объясняется вероятность монетки 1/3.

Другой пример аналогичен парадоксу Монти-Холла : У игрока на выбор одна из трёх дверей, за одной из которых приз. Игрок выбирает дверь с вероятностью выигрыша 1/3. Далее ведущий открывает пустую из двух оставшихся и предлагает игроку сменить выбор. Очевидно смена выбора увеличивает шанс победы до 2/3. Т.к. он «образно» открывает не одну, а две двери из трёх.

Но в случае если ведущий изначально откроет пустышку и только после этого даст выбор игроку, то у игрока будет только ½ шанса на победу.

Ровно то же и в коробках Бертона, игроку предлагают сделать только последний ход в котором успешный выбор только один из двух возможных.